Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ trong X.
Không gian ℚ là không đầy đủ. Xét dãy được định nghĩa bởi x1 = 1 và xn+1 = xn/2 + 1/xn . Đó là dãy số hữu tỉ (1, 3/2, 17/12, …). Dãy này không hội tụ tới bất cứ giới hạn hữu tỉ nào. Tuy nhiên nếu được coi là một dãy số thực, nó hội tụ tới số vô tỉ √2. ℝ là hoàn thành của ℚ.
Một không gian M là không đầy đủ vì nó còn thiếu các điểm giới hạn của các dãy Cauchy của nó. Một cách đơn giản là thêm các điểm này để tạo hoàn thành N chứa M là không gian con trù mật của nó.
Tuy nhiên một phương pháp tổng quát cho mọi không gian metric là xây dựng hoàn thành N từ các dãy Cauchy trong M.
Nếu mỗi phần tử của N là một dãy Cauchy thì khoảng cách trong không gian metric N là khoảng cách giữa các dãy Cauchy. Với hai dãy x = (xn) và y = (yn) chúng ta định nghĩa khoảng cách
Nhưng vì có thể có nhiều dãy Cauchy khác nhau có khoảng cách bằng 0 nên điều này mâu thuẫn với tính chất 2 của không gian metric, và không gian như thế không thỏa mãn là không gian metric. Bây giờ chúng ta nhóm các dãy Cauchy có khoảng cách bằng 0 thành một lớp. Lớp này là lớp tương đương với quan hệ tương đương là “có khoảng cách bằng 0” vì quan hệ này thỏa mãn các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Như vậy thay vì một dãy Cauchy chúng ta dùng lớp tương đương của nó làm một phần tử của không gian metric N, và N là không gian của tập các lớp tương đương.
Xét bao đóng M̅ của M. Hiển nhiên M̅ là không gian đầy đủ. Mỗi lớp tương đương có một điểm giới hạn trong M̅ làm đại diện mà các dãy Cauchy của lớp tương đương đều hội tụ tới đó. M̅ đẳng cự với N, thật vậy,
Theo định nghĩa metric của N chúng ta có
Gọi các điểm giới hạn của x = (xn) là a, và giới hạn của y = (yn) là b. Theo định nghĩa của dãy hội tụ của không gian metric, ∀ɛ > 0 chúng ta tìm được các số nguyên dương n1, n2 sao cho ∀n > n1, d(xn, a) < ɛ/2 và ∀n > n2, d(yn, b) < ɛ/2. Đặt n0 = max(n1, n2), chúng ta được ∀n > n0,
d(xn, a) + d(yn, b) < ɛ (**)
Theo bất đẳng thức tam giác của không gian metric chúng ta có
d(xn, yn) ≤ d(xn, a) + d(a, b) + d(b, yn) = d(xn, a) + d(yn, b) + d(a, b) ⇔
d(xn, yn) – d(a, b) ≤ d(xn, a) + d(yn, b) (***)
Từ (**) và (***) suy ra
d(xn, yn) – d(a, b) ≤ |d(xn, yn) – d(a, b)| < ɛ
Vậy d(xn, yn) → d(a, b), kết hợp với (*), chúng ta được
d(x, y) = d(a, b)
Mỗi phần tử x của M sẽ có một lớp tương đương của dãy Cauchy (x, x, x, …..). Không gian M được nhúng đẳng cự vào N thông qua các phần tử như thế.
Như vậy, hai không gian N và M̅ có các phần tử tương ứng 1-1, chúng là hai không gian đẳng cự, và M đẳng cự với một không gian con trù mật trong N. Dựa vào định nghĩa phép đẳng cự chúng ta dễ dàng chứng minh ánh xạ từ M̅ sang N là bảo toàn tính đầy đủ. Nói cách khác, không gian N là không gian metric đầy đủ, là hoàn thành của M.
Việc chứng minh bảo toàn tính đầy đủ của phép đẳng cự song ánh như sau:
Dựa theo định nghĩa, giả sử X và Y là hai không gian metric đẳng cự, X là không gian metric đầy đủ, chúng ta chứng minh Y cũng là không gian metric đầy đủ.
Lấy một dãy Cauchy (xn) bất kỳ của X. Vì ánh xạ là song ánh nên nếu chúng ta tìm được dãy (yn) tương ứng trong Y là dãy hội tụ thì coi như chứng minh xong. X là đầy đủ nên dãy Cauchy (xn) hội tụ, giả sử tới a ϵ X. Theo định nghĩa của dãy hội tụ của không gian metric, ∀ɛ > 0 chúng ta tìm được một số nguyên dương n0 sao cho ∀n > n0, dX(xn, a) < ɛ ⇔ dy(f(xn), f(a)) < ɛ
Đặt b = f(a)
f(xn) là phần tử yn của dãy tương ứng ( yn ) trong Y, chúng ta có dy(yn, b) < ɛ. Vậy (yn) hội tụ tới b.
Xây dựng các số thực
Lối tiếp cận tổng hợp đưa ra một danh sách các tiên đề cho các số thực như một trường được sắp thứ tự đầy đủ. Một mô hình cho hệ thống các số thực bao gồm một tập ℝ, hai phần tử phân biệt 0 và 1 của ℝ, hai phép toán hai ngôi + và × trên ℝ, và một quan hệ hai ngôi ≤ trên ℝ, thỏa mãn các tiên đề: tiên đề về cấu trúc trường; tiên đề về quan hệ thứ tự toàn phần; tiên đề về sự tương thích giữa các phép toán + và × trên ℝ với quan hệ ≤; tiên đề về cận trên bé nhất hay tiên đề về tính đầy đủ của quan hệ ≤.
Trong cuốn sách Toán học cao cấp, tập 2, xuất bản năm 2010, trang 11, 12, tiên đề về quan hệ thứ tự toàn phần bị nhầm với tiên đề về sự tương thích giữa các phép toán + và × trên ℝ với quan hệ ≤, ngoài ra, không có nội dung của tiên đề về quan hệ thứ tự toàn phần. Như vậy, nếu có a ≥ b và b ≥ a thì không có cơ sở nào để khẳng định a = b, vì không có định lý nào xác định điều đó trên ℝ ngoài chính bản thân tiên đề cho ℝ được trình bày đầy đủ, trong đó nêu rõ tính chất phản đối xứng của ℝ là một tập được sắp thứ tự toàn phần. Tiên đề thiếu là tiên đề sai và sai ở mức tiên đề là nghiêm trọng.
Có một số phương pháp xây dựng các số thực một cách rõ ràng. Một trong số đó là sử dụng các dãy Cauchy của các số hữu tỉ. Theo đó, ℝ là tập tất cả các lớp tương đương của các dãy Cauchy hữu tỉ. Các lớp tương đương này được thiết lập tương tự như trong cách hoàn thành không gian metric nêu trên. Tập ℚ được nhúng vào ℝ bằng việc xác định mỗi số hữu tỉ q với một lớp tương đương của dãy (q, q, q, …). Mỗi số thực được đại diện bởi một dãy Cauchy hữu tỉ của lớp tương đương của nó. ℝ như thế thỏa mãn mọi tiên đề của số thực nói trên. Các dãy Cauchy (xn) và (yn) có thể được cộng và nhân với nhau như sau:
(xn) + (yn) = (xn + yn)
(xn) × (yn) = (xn × yn)
Hai số thực x = (xn) và y = (yn) được so sánh với nhau thông qua so sánh giữa các dãy Cauchy: (xn) ≥ (yn) nếu và chỉ nếu x tương đương với y hoặc tìm được một số tự nhiên N sao cho xn > yn ∀n > N.
Ở đây có một chút tinh tế: một lớp tương đương, khi là một phần tử của không gian hoàn thành, nó được đại diện bởi một dãy Cauchy của nó, nhưng giá trị của nó được gán là một số thực, là giới hạn mà các dãy Cauchy của lớp tương đương hội tụ tới (nhắc lại rằng các dãy Cauchy trong một lớp tương đương có khoảng cách với nhau bằng 0, chúng được “dán” lại với nhau thành một phần tử của không gian như trong tôpô thương, và hội tụ tới cùng một giới hạn). Do đó, khi phân tích để đáp ứng các tiên đề của mô hình, chúng ta coi lớp tương đương là một dãy, còn khi cần một giá trị, chúng ta coi nó là một số thực.
Như vậy, khi chúng ta nói “số hữu tỉ q là một cận trên của một tập các dãy Cauchy”, điều đó có thể được hiểu rằng dãy (q, q, q, …) là một cận trên của tập các dãy Cauchy đó. Trong nhận thức này, chúng ta dễ dàng chỉ ra tập ℝ được xây dựng cũng thỏa tiên đề về cận trên bé nhất, bằng cách thiết lập hai dãy Cauchy hữu tỉ, một dãy xuất phát từ một cận trên hữu tỉ U của một tập con không rỗng S của ℝ, gọi là (un), dãy kia xuất phát từ một số hữu tỉ L nhỏ hơn một phần tử s nào đó của S, gọi là (ln). Hai dãy có thể được định nghĩa sao cho un luôn là một cận trên của S và ln không bao giờ là một cận trên của S; (un) giảm đơn điệu không ngặt, còn (ln) tăng đơn điệu không ngặt, hai dãy này tiến lại gần nhau và chúng là tương đương, có nghĩa là metric giữa chúng bằng 0, điều này được thực hiện bằng cách thiết lập các phần tử tiếp theo của hai dãy thông qua một giá trị trung bình mn = (un + ln)/2 cộng thêm một chút linh hoạt quan sát lúc mn chạm tới cận trên của S, thì do đó lớp tương đương của hai dãy là cận trên bé nhất của S.
Để hình dung về lớp tương đương của các dãy Cauchy, chúng ta lấy một ví dụ đơn giản, đó là hai dãy (0, 0.9, 0.99, 0.999, …) và (1, 1, 1, 1, …) là tương đương. Cho rằng ℚ sử dụng metric thông thường, thì khoảng cách giữa hai dãy theo định nghĩa metric của không gian hoàn thành, là giới hạn của dãy (1, 0.1, 0.01, 0.001, …), và bằng 0.
Chúng ta thấy rằng việc thiết lập không gian hoàn thành không phụ thuộc vào metric của không gian gốc, do đó phương pháp xây dựng các số thực một cách rõ ràng dựa vào các dãy Cauchy của các số hữu tỉ có độ tổng quát hóa cao hơn các phương pháp khác.
(Bài viết này tham khảo một số nguồn trên Wikipedia)
